جزوه جبر جامع

برای دانلود جزوه جبر جامع دانشگاه شهید بهشتی ، استاد محمودی روی فایل زیر کلیک کنید.

 

جزوه جبر جامع

 

 

 

ارسطو در مقابل بودا

تمام ایده ها از ایده های دیگر برمی خیزند. منطق فازی برخلاف ادعای مطبوعات عمومی، به یکباره ساخته و پرداخته و به جهان علم و مهندسی نیامده است.

نام «فازی» بیان کننده یک ایده یا خانواده ای از ایده هاست که بسیار کهنسال و دارای ریشه های متعددی است. سایه های خاکستری، مرزهای مبهم، ناحیه خاکستری، متضادهای متعادل، هم درست هم نادرست، تناقض، مستدل غیرمنطقی همگی ایده های مختلفی هستند که مبین نام «منطق فازی» هستند.

تاریخ قدیم حالت فازی به دو شاخه در منطق غرب و شرق تقسیم می شود. منطق دودویی و بخش زیادی از جهان بینی ها از ارسطو گرفته شده است. او به ما آموخت که از روش بحث به ظاهر مستدل اما در واقع نادرست استفاده کرده و همواره بین متضادها، بین چیزها و غیر چیزها، بین A و غیر A، افتراق قائل شویم. هرچه این خطوط را بهتر بکشید، ذهن شما منطقی تر و عمق شما دقیق تر خواهد بود.

در مقابل، رهبران بزرگ فرهنگی شرق یعنی «عرفا» بودند. آنها چند معنایی یا ابهام را نه تنها تحمل کرده بلکه آن را تشویق نیز می کردند، بودا در مسیرش به نورانیت معنوی یا روحی (رهایی از شهوات و رنج ها)، جهان کلمات سیاه و سفید را رد کرد و در همان زمان، نشان «ین-یانگ» را که نشانه ای از ترکیب «چیزها و غیر چیزها» و «A و غیر A» بود، عرضه کرد.

اگر بودا ریاضیات و منطق یونان باستان را آموخته بودند، تاریخ متفاوت می شد و جهان امروز ما هم بسیار متفاوت بود.

منطق فازی در مقابل منطق کلاسیک

اصل فازی بیان می دارد که همه چیز نسبی است.

حالت فازی نامی رسمی در علوم دارد که عبارت است از حالت چند ارزشی.

مخالف حالت فازی، حالت دو ارزشی یا دو مقداری است که در آن برای هر سوالی دو پاسخ می تواند وجود داشته باشد: درست یا نادرست، یک یا صفر.

فازی بودن به معنای چند ارزشی بودن است. این بدان معنا است که در پاسخ به هر سوال سه انتخاب یا بیشتر وجود دارد، و شاید طیف نامحدودی از انتخاب ها به جای فقط دو انتخاب نهایی وجود داشته باشد. این بدان معنا است که ما به جای حالت دودویی یا باینری از حالت آنالوگ استفاده می کنیم و سایه های نامحدودی از خاکستری بین سیاه و سفید داریم. و بالاخره حالت فازی تمام آن چیزی است که قاضی یا وکیل در دادگاه سعی می کند کنار بگذارد تا قادر باشد از متهم بپرسد: «فقط جواب بلی یا خیر بدهید.»

سمینار سالانه انجمن منطق ایران (21 الی 23 آذرماه)

ثبت نام 

رشته محاسبات نرم- ساختارهای جبری منطقی

تعریف رشته: محاسبات نرم مشخص کننده راه حل های نادقیق و تقریبی  برای حل مسائلی که از نظر محاسباتی حل آنها دشوار بوده و هیچ الگوریتم شناخته شده ای برای حل دقیق آنها در زمان چندجمله ای وجود ندارد. برخلاف شیوه‌های محاسباتی سخت که تمامی همّت و توان خود را به دقیق‌بودن، و در جهت مدل‌ نمودن کامل حقیقت معطوف می‌دارند، روش‌های نرم بر اساس تحمّل نادقیق‌نگری‌ها، حقایق جزیی و ناکامل، و فقدان اطمینان استوار گردیده‌اند. به زبان سادهٔ علمی، روش‌های سخت برآمده از طبیعت و نحوه رفتار ماشین است، در حالی که شیوه‌های نرم، به انسان و تدابیر اتخاذ شده از سوی ذهن او به منظور حل و فصل مسائل اختصاص پیدا می‌کند. دانشجویان این رشته با گذراندن 24 واحد آموزشی، 2واحد سمینار  و 6 واحد پایان‌نامه فارغ‌التحصیل خواهند شد.

هدف رشته: روش‌های محاسباتی متداول به اصلاح "سخت" تنها می‌توانند پدیده‌های نسبتاً ساده را به‌صورت دقیق مدل‌بندی و تجزیه و تحلیل کنند، ولی با روش‌های محاسبات به اصلاح "نرم" می‌توان پدیده‌های خیلی پیچیده در زیست‌شناسی، پزشکی، مهندسی، علوم‌انسانی، مدیریت و از این قبیل را نیز مطالعه و مدل‌بندی و تجزیه و تحلیل کرد.. تربیت متخصصان حرفه‌ای که تقریباً در هر وزارتخانه‌ا‌ی مشغول به‌کار شوند و روش‌هایی برای حل مسئله‌های آن‌ها ارائه نمایند.

منبع: سایت دانشکده علوم ریاضی دانشگاه شهید بهشتی

تقریبا چیزی که در این رشته در دانشگاه شهید بهشتی کار میشه، زیر مجموعه های مدل تئوری است.
رشته به شدت جذابیه برای عشق ریاضیایی که با منطق صفر و یک به بن بست رسیدن و دنبال یه منطق و جبر نزدیک تر به زندگی حقیقی انسانی هستن:)

مشبکه کراندار Bounded Lattice

مشبکه کراندار Bounded Lattice

ساختار جبریرا مشبکه ای کراندار گوییم هرگاهیک مشبکه باشد و عضوهای 0 و 1 در L در شرایط زیر صدق کنند:

                                             

                                             

0 را کران پایین و 1 را کران بالای L می نامیم.

مثال: مشبکه زیر، مشبکه ای کراندار است. کران پایین و بالای آن را مشخص کنید.

                                                

تفکر فازی

علم همواره با یک اشتباه همراه بوده است، اشتباهی که همه دانشمندان نیز گویی مرتکب آن شده‌اند.

به طور مثال هر کس باید بتواند بگوید که علف سبز است و قرمز نیست. یا آنکه تعداد ستارگان زوج یا فرد است. هر کدام از این پدیده ها تنها یک پاسخ درست دارند صحیح یا غلط، حالت میانه ای وجود ندارد، اما این مثال ها که در آنها برای هر مسأله ای تنها یک جواب آری یا نه صادق است را نباید به همه چیز تعمیم داد.

اشتباه علم تعمیم این مسأله به تمام پدیده ها بوده است.

همان طور که ارسطو می گوید: «هر چیزی یا باید باشد یا نباشد، چه در حال حاضر و چه در آینده». به عبارتی زبان ریاضی علم، مرزهایی مصنوعی بین سیاه و سفید ایجاد می کند و سفید و سیاه هم‌زمان ممکن نیست.

هنوز در بسیاری از رشته ها، ما فرض را بر آن گذاشته‌ایم که جهانی از سیاه و سفید ها وجود دارند که تغییر نمی‌کنند. فازی بودن طیفی از خاکستری بین سیاه و سفید است. در واقع می‌توان گفت که هر چیزی به طور نسبی درست یا غلط است.

هرچند معمولا لغت «دقیق» در مقابل فازی به کار گرفته می شود، ولی منطق فازی را تعمیمی از منطق کلاسیک خواهیم یافت.

درستی یک گزاره فازی برحسب درجه است.

                               

مطالعه بیشتر: 1) تفکر فازی، بارت کاسکو، انتشارات دانشگاه خواجه نصیر الدین طوسی.

2) منطق فازی و کاربردهای آن، اسفندیار اسلامی، انتشارات دانشگاه شهید باهنر کرمان.

نیم مشبکه Semilattice

 نیم مشبکه Semilattice

 مجموعه ی مرتب جزئی S همراه با عمل دوتایی ≥ را یک رسند-نیم مشبکه (meet-semilattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از S بزرگترین کران پایین (Greatest Lower Bound) {x,y} موجود باشد.

 بزرگترین کران پایین {x,y} را با inf{x,y} یا x˄y نمایش می دهیم.

 به همین ترتیب وست-نیم مشکبه را تعریف می کنیم.

 در وست-نیم مشبکه (join-semilattice)، به ازای هر دو عضو x و y از S، کوچکترین کران بالای (Least Upper Bound) {x,y} موجود است.

 کوچکترین کران بالای {x,y} را با sup{x,y} یا x˅y نمایش می دهیم.

 

 می توانیم تعریفی جبری از نیم مشبکه ارائه دهیم.

 برای این منظور مجموعه ی S را همراه با عمل دوتایی ˄ در نظر می گیریم به طوریکه  شرایط زیر برقرار باشد:

x˄x=x

x˄y=y˄x

x˄(y˄z)=(x˄y)˄z

 در این صورت S را رسند-نیم مشبکه گویند.

 و به همین نحو وست-نیم مشبکه تعریف می شود.

 مثال:

                                                       

 این نمودار هاسه، نمایش دهنده ی یک رسند-نیم مشبکه (و وست-نیم مشبکه) است. زیرا meet (و join) هر دو عضو موجود است و شرایط ذکر شده در بالا برقرار است:

 به وضوح دو شرط اول برقرارند. شرط سوم را بررسی می کنیم:

a˄(b˄c) = a˄a = a

(a˄b)˄c = a˄c = a

 پس دو طرف تساوی با هم برابرند. با بررسی شرط سوم بر تک تک عناصر، نیم مشبکه بودن نمودار فوق، بدست می‌آید.

 

سوال: نشان دهید شکل زیر هیچ یک از انواع نیم مشبکه نیست.

                                            

نکته: با رابطه ی زیر می توان نشان داد دو تعریف فوق (تعریف ترتیبی و تعریف جبری) از نیم مشبکه با هم معادلند:

x ≤ y ↔ x˅y=y

x ≤ y ↔ x˄y=x

 

مرور بر مطالب قبل:

                                                           

نمودار هاسه Hasse Diagram

 نمودار هاسه Hasse Diagram

 فرض کنید (A,≤) یک مجموعه ی مرتب جزئی باشد. نمودار هاسه این مجموعه به صورت زیر ساخته می‌شود:

1.      به ازای هر یک از اعضای A یک نقطه در صفحه در نظر می‌گیریم. اگر a و b دو عضو متمایز از A باشند که a≤b ارتفاع b بیشتر از a باشد.

2.      اگر a و b دو عضو متمایز باشند و a≤b آنگاه با یک منحنی صعودی نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b وصل می‌کنیم.

3.      تمام منحنی‌های رسم شده در گام 2 را برای خواص تعدی حذف می‌کنیم.

یعنی اگر a≤b نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b با یک منحنی وصل می‌کنیم هرگاه عنصر c متمایز از a و b نداشته باشیم که a≤c≤b.

مثال: زوج های مرتب روی مجموعه اعداد طبیعی را با رابطه ی زیر در نظر بگیریم:

  (a,b) ≤ (c,d) if a ≤ c and b ≤d                                                                          

  نمودار هاسه به شکل زیر خواهد بود:

                                           

توجه1: برای رسم نمودار هاسه روش های متعددی وجود دارد، اما معمولا برای رسم ابتدا نقطه مینیمم (در صورت وجود) را قرار می دهند و باتوجه به رابطه ترتیب، نقاط و خطوط دیگر را اضافه می کنند. بنابراین نمودار هاسه هر مجموعه مرتب جزئی یکتا نیست.

توجه2: در نمودار هاسه دور و طوقه وجود ندارد. (با توجه به الگوریتم رسم واضح است.)

مجموعه ی مرتب جزئی Partial Order Set

مجموعه مرتب جزئی Partial Order Set (poset)

رابطه ی ≥  را مرتب جزئی گوییم هرگاه به ازای هر x و y و z در A داشته باشیم:

خودتوان باشد:

پادتقارنی باشد:

تعدی باشد:

مجموعه ی A همراه با رابطه ترتیب ≥ را مجموعه مرتب جزئی گوییم.

مثال: مجموعه ی اعداد طبیعی همراه با رابطه ی عاد کردن، مجموعه ای جزئی مرتب است.

 

اگر هر دو عضو در مجموعه ی A قابل مقایسه باشند، آنگاه مجموعه A را کلی مرتب (Total Order) می نامیم. به عبارتی به ازای هر x و y در A، داشته باشیم:

مثال: مجموعه ی اعداد طبیعی با رابطه ی ترتیب معمولی، مجموعه ای کلی مرتب است.

مثال: عاد کردن رابطه ای کلی مرتب نیست، زیرا مثلا 2 و 3 هیچ یک برهم بخش پذیر نیستند، بنابراین در رابطه ی عاد کردن صدق نمی کنند.