محاسبه زوایای ستاره چند پر
رابطه ی بین زوایای کوچک و بزرگ در یک ستاره چند پر منتظم:
ما در ستاره های چند پر منتظم دو نوع زاویه داریم.
یک زاویه کوچکتر و تند که آن را Z و یک زاویه ی بزرکتر از 180 درجه که آن را L می نامیم و n تعداد اضلاع را بایددر نظر داشته باشیم که n/2 آن منتظم است.در اینجا خواهیم به روابط بین Z و L پی ببریم.
ابتدا باید این را بدانیم در این ستاره ها کوچکترین آنها ستاره 3 پر با6ضلع می باشد.
رابطه L وz:
در اینجا ابتدا می خواهیم به یک نکته برسیم و آن این است که ما هر مقداری را برای Z می توانیم بگذاریم به جز 2 عدد
1-زاویه 0 درجه باشد(وجود خارجی ندارد)
2-زاویه ی Z هر چه می تواند باشد
Z ≠ 𝑛 − 4 ∗ 180/ 𝑛
زیرا با جایگذاری آن n ضلعی منتظم ما به n/2 ضلعی منتظم(با زوایای حاده)تبدیل می شود در واقع زاویه L ما تبدیل به یکی از این 3 زاویه می شود و به ما خطی راست یا 180 درجه می دهد.
روند اثبات فرمول:
𝑛 − 2 ∗ 180 /n
ابتدا با یک ستاره ی منتظم 3 پر شروع می کنیم و سپس آن را برای دیگر ستاره ها تعمیم می دهیم:
برای اینکه ACE یک خط راست باشد داریم=
𝐶 1 = 𝐶 2
𝐶 1 = 𝐶 2 =180-( 𝑛/ 2 − 2 ∗ 180/(n/2) 𝐶 1 = 𝐶 2 =90
120=𝐶 1 +𝐶 2
استفاده از فرمول اثبات شده
((n-2)∗180)/n
𝐶 1 = 𝐶 2 = 6/ 2 − 2 ∗ 180/6/2 = (1∗180)/3=60
فرض مسئله 𝐶 1 = 𝐶 2 =60
𝐶 1+𝐶 2 =120
ونیز برای ستاره های 4پر و 5 پر و...نیز قابل استفاده می باشد 
ادامه رابطه ی بین ZوL :
در هر ستاره چند پر منتظم:اینجا باز ستاره 3 پر را بدست آورده و برای سایر ستاره ها تعمیم می دهیم:
B=C=D=60
AB=AC=ɑ
CE=ED=ɑ
BF=FD=ɑ
خط قرمز رنگ L یا زاویه بزرگ ما هست از اینجا داریم:
#حاصل جمع زوایای هر مثلث 180 درجه
L=ɑ+ɑ+60=L=2ɑ+60 *
2ɑ=180-Z
از*# L=180-Z
حال برای پیدا کردن 60 داریم:
𝑛/ 2 − 2 ∗ 180/ n/2=𝑛 − 4/ 2 ∗ 180/n/2 = 𝑛 − 4 ∗ 180/ 𝑛 =60
●از *و#و
L=180-Z+ 𝑛 − 4 ∗ 180/ 𝑛
همین طور برای ستاره های 4پر و 5پر و...صدق می کند.
حال به حاصل جمع L+Z می پردازیم:
از مطلب قبل نتیجه گرفتیم که:
(L=180-Z+( 𝑛 − 4 ∗ 180/ 𝑛
حال این مطلب را ادامه می دهیم: L+Z=180+ 𝑛 − 4 ∗ 180/ 𝑛
L+Z= 180 ∗ 𝑛/ 𝑛 + 𝑛 − 4 ∗180/n= 180𝑛 + 180 𝑛 − 720/n
L+Z=360*n-2/n
حال اگر چندضلعی هایمان را در درون دو دایره بیاندازیم چه می شود؟
O مرکز دایره
Cو C̕ دوایرمان هستند
C̕ ثابت واگرCبزرگتر شود:
1-Zکاهش(کوچکتر)می شود
2-Lافزایش(بزرگتر)می شود
C̕ ثابت واگرCکوچکتر شود:
1-Zافزایش(بزرگتر)می شود
2-Lکاهش (کوچکتر)می شود
Cثابت Cثابت
اگر C̕ بزرگترشود: اگر C̕ کوچکتر شود
1-Zبزرگتر می شود 1-Zکوچکتر می شود
2-Lکوچکتر می شود 2-Lبزرگتر می شود
اگرCبه اندازه Kو C̕ به اندازه K̕ تغییرکند
Zبزرگتر
K̕>K Lکوچکتر
K̕<K Zکوچکتر
Lبزرگتر
K̕=K ZوLتغییر نمی کند
شکل حاصل از قطر چند ضلعی های منتطم:
همان طور که می دانیم مثلث قطری ندارد و شکل حاصل از اقطار مربع یک نقطه است ولی 5ضلعی یک ستاره 5پر و 6ضلعی یک ستاره 6پر و هر n ضلعی یک ستاره nپر می دهد.
حال می خواهیم یک نگاهی برای به دست آوردن ZوL این ستاره های خاص بیاندازیم:
زاویه LوZ در یک 5 ضلعی منتظم:(تعمیم به سایر چندظلعی های منتظم)
AB=BC=DC=ED=AE
AF=BF=AG=EG
𝐴 1 = 𝐴 2 = 𝐴 3
=108
=A1 =A2=A3=E1 =D1=C1=B1
36=
L=180-36+108=252
Z=)*n/2-4
Z=()(
)=180(n-8)/n
+L
L=
L=
n+4>n-8 نکات
زوج باشدn n>8 =
البته لازم به ذکر مجدد است که دو فرمول ذکر شده در بالا تنها برای شکل حاصل از قطرهای چند ضلعی های منتظم می باشد
با تشکر از سرکار خانم تکراری
نیایش جلالی فیروزکوهی
