گروه های آبلی Abelian Group
گروه (+,G) را آبلی گوییم، هرگاه عناصر آن جا به جایی (تعویض پذیر) باشد.
به زبان ریاضی یعنی:
نمونه های بسیاری از گروه های آبلی موجودند، مانند مجموعه اعداد صحیح همراه با عمل جمع معمولی (با بررسی چهار شرط گروه به وضوح گروه است، همچنین آبلی است).
نمونه ای از گروه غیر آبلی، مجموعه ماتریس های وارون پذیر دو در دو با درایه های حقیقی، همراه با عمل ضرب ماتریس ها، یک گروه غیر آبلی است.
زیرا ضرب ماتریس ها خاصیت جا به جایی ندارد.
تکوار Monoid
ساختار جبری (+,M) را یک تکوار یا مونوئید نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کنند:
شرط اول را بسته بودن مجموعه M، شرط دوم را شرکت پذیری عناصر M و شرط سوم را وجود عضو خنثی یا همانی در M می نامیم.
یه عبارتی می توان گفت هر نیمگروه که عضو خنثی داشته باشد، یک تکوار (مونوئید) است.
نیمگروه Semigroup
ساختار جبری (+,S) را یک نیمگروه گوییم هرگاه در دو شرط زیر صدق کند:
شرط اول را بسته بودن مجموعه S و شرط دوم را شرکت پذیری عناصر S نسبت به عمل + می نامیم.
مثال: مجموعه اعداد طبیعی همراه با عمل جمع معمولی یک نیمگروه است.
تذکر: لزوما عمل مورد استفاده در نیمگروه جمع معمولی نیست و علامت + در اینجا فقط نمایانگر یک عمل دوتایی است.
مشبکه Lattice
مجموعه ی مرتب جزئی L همراه با عمل دوتایی ≥ را یک مشبکه (Lattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از L، بزرگترین کران پایین {x,y} و کوچکترین کران بالای {x,y} موجود باشد.
یعنی:
به عبارتی می‌توان گفت، L یک مشبکه است هرگاه یک رسند-نیم مشبکه و یک وست-نیم مشبکه باشد.
می توان مشبکه را به صورت جبری نیز تعریف کرد.
جبر (L;
∨,∧) را یک مشبکه نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند:
1)
خودتوانی: 
جا به جایی: 
شرکت پذیری:
1)
جذب: 
مثال: مجموعه ی توانی همراه با عمل اشتراک و اجتماع یک مشبکه است.
زیرا به وضوح خواص خودتوانی، جا به
جایی، شرکت پذیری و خاصیت جذب برای اجتماع و اشتراک مجموعه ها برقرار است.
برای درک بهتر، فرض کنیم مجموعه X برابر باشد با:
بنابراین:
نمودار هاسه این مشبکه به شکل زیر است:
نیم مشبکه Semilattice
مجموعه ی مرتب جزئی S همراه با عمل دوتایی ≥ را یک رسند-نیم مشبکه (meet-semilattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از S بزرگترین کران پایین (Greatest Lower Bound) {x,y} موجود باشد.
بزرگترین کران پایین {x,y} را با inf{x,y} یا x˄y نمایش می دهیم.
به همین ترتیب وست-نیم مشکبه را تعریف می کنیم.
در وست-نیم مشبکه (join-semilattice)، به ازای هر دو عضو x و y از S، کوچکترین کران بالای (Least Upper Bound) {x,y} موجود است.
کوچکترین کران بالای {x,y} را با sup{x,y} یا x˅y نمایش می دهیم.
می توانیم تعریفی جبری از نیم مشبکه ارائه دهیم.
برای این منظور مجموعه ی S را همراه با عمل دوتایی ˄ در نظر می گیریم به طوریکه شرایط زیر برقرار باشد:
x˄x=x
x˄y=y˄x
x˄(y˄z)=(x˄y)˄z
در این صورت S را رسند-نیم مشبکه گویند.
و به همین نحو وست-نیم مشبکه تعریف می شود.
مثال:
این نمودار هاسه، نمایش دهنده ی یک رسند-نیم مشبکه (و وست-نیم مشبکه) است. زیرا meet (و join) هر دو عضو موجود است و شرایط ذکر شده در بالا برقرار است:
به وضوح دو شرط اول برقرارند. شرط سوم را بررسی می کنیم:
a˄(b˄c) = a˄a = a
(a˄b)˄c = a˄c = a
پس دو طرف تساوی با هم برابرند. با بررسی شرط سوم
بر تک تک عناصر، نیم مشبکه بودن نمودار فوق، بدست می‌آید.
سوال: نشان دهید شکل زیر هیچ یک از انواع نیم مشبکه نیست.
نکته: با رابطه ی زیر می توان نشان داد دو تعریف فوق (تعریف ترتیبی و تعریف جبری) از نیم مشبکه با هم معادلند:
x ≤ y ↔ x˅y=y
x ≤ y ↔ x˄y=x
مرور بر مطالب قبل:
نمودار هاسه Hasse Diagram
فرض کنید (A,≤) یک مجموعه ی مرتب جزئی باشد.
نمودار هاسه این مجموعه به صورت زیر ساخته می‌شود:
1. به ازای هر یک از اعضای A یک نقطه در صفحه در نظر می‌گیریم. اگر a و b دو عضو متمایز از A باشند که a≤b ارتفاع b بیشتر از a باشد.
2. اگر a و b دو عضو متمایز باشند و a≤b آنگاه با یک منحنی صعودی نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b وصل می‌کنیم.
3. تمام منحنی‌های رسم شده در گام 2 را برای خواص تعدی حذف می‌کنیم.
یعنی اگر a≤b نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b با یک منحنی وصل می‌کنیم هرگاه عنصر c متمایز از a و b نداشته باشیم که a≤c≤b.
مثال: زوج های مرتب روی مجموعه اعداد طبیعی را با رابطه ی زیر در نظر بگیریم:
(a,b) ≤ (c,d) if a ≤ c and b ≤d
نمودار هاسه به شکل زیر خواهد بود:
توجه1: برای رسم نمودار هاسه روش های متعددی وجود دارد، اما معمولا برای رسم ابتدا نقطه مینیمم (در صورت وجود) را قرار می دهند و باتوجه به رابطه ترتیب، نقاط و خطوط دیگر را اضافه می کنند. بنابراین نمودار هاسه هر مجموعه مرتب جزئی یکتا نیست.
توجه2: در نمودار هاسه دور و طوقه وجود ندارد. (با توجه به الگوریتم رسم واضح است.)
مجموعه مرتب جزئی Partial Order Set (poset)
رابطه ی ≥ را مرتب جزئی گوییم هرگاه به ازای هر x و y و z در A داشته باشیم:
خودتوان باشد: 
پادتقارنی باشد: 
تعدی باشد: 
مجموعه ی A همراه با رابطه ترتیب ≥ را مجموعه مرتب جزئی گوییم.
مثال: مجموعه ی اعداد طبیعی همراه با رابطه ی عاد کردن، مجموعه ای جزئی مرتب است.
اگر هر دو عضو در مجموعه ی A قابل مقایسه باشند، آنگاه مجموعه A را کلی مرتب (Total Order) می نامیم. به عبارتی به ازای هر x و y در A، داشته باشیم:
مثال: مجموعه ی اعداد طبیعی با رابطه ی ترتیب معمولی، مجموعه ای کلی مرتب است.
مثال: عاد کردن رابطه ای کلی مرتب نیست، زیرا مثلا 2 و 3 هیچ یک برهم بخش پذیر
نیستند، بنابراین در رابطه ی عاد کردن صدق نمی کنند.
