گروه های آبلی Abelian Group
گروه (+,G) را آبلی گوییم، هرگاه عناصر آن جا به جایی (تعویض پذیر) باشد.
به زبان ریاضی یعنی:
نمونه های بسیاری از گروه های آبلی موجودند، مانند مجموعه اعداد صحیح همراه با عمل جمع معمولی (با بررسی چهار شرط گروه به وضوح گروه است، همچنین آبلی است).
نمونه ای از گروه غیر آبلی، مجموعه ماتریس های وارون پذیر دو در دو با درایه های حقیقی، همراه با عمل ضرب ماتریس ها، یک گروه غیر آبلی است.
زیرا ضرب ماتریس ها خاصیت جا به جایی ندارد.
تکوار Monoid
ساختار جبری (+,M) را یک تکوار یا مونوئید نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کنند:
شرط اول را بسته بودن مجموعه M، شرط دوم را شرکت پذیری عناصر M و شرط سوم را وجود عضو خنثی یا همانی در M می نامیم.
یه عبارتی می توان گفت هر نیمگروه که عضو خنثی داشته باشد، یک تکوار (مونوئید) است.
نیمگروه Semigroup
ساختار جبری (+,S) را یک نیمگروه گوییم هرگاه در دو شرط زیر صدق کند:
شرط اول را بسته بودن مجموعه S و شرط دوم را شرکت پذیری عناصر S نسبت به عمل + می نامیم.
مثال: مجموعه اعداد طبیعی همراه با عمل جمع معمولی یک نیمگروه است.
تذکر: لزوما عمل مورد استفاده در نیمگروه جمع معمولی نیست و علامت + در اینجا فقط نمایانگر یک عمل دوتایی است.
