نیم مشبکه Semilattice
مجموعه ی مرتب جزئی S همراه با عمل دوتایی ≥ را یک رسند-نیم مشبکه (meet-semilattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از S بزرگترین کران پایین (Greatest Lower Bound) {x,y} موجود باشد.
بزرگترین کران پایین {x,y} را با inf{x,y} یا x˄y نمایش می دهیم.
به همین ترتیب وست-نیم مشکبه را تعریف می کنیم.
در وست-نیم مشبکه (join-semilattice)، به ازای هر دو عضو x و y از S، کوچکترین کران بالای (Least Upper Bound) {x,y} موجود است.
کوچکترین کران بالای {x,y} را با sup{x,y} یا x˅y نمایش می دهیم.
می توانیم تعریفی جبری از نیم مشبکه ارائه دهیم.
برای این منظور مجموعه ی S را همراه با عمل دوتایی ˄ در نظر می گیریم به طوریکه شرایط زیر برقرار باشد:
x˄x=x
x˄y=y˄x
x˄(y˄z)=(x˄y)˄z
در این صورت S را رسند-نیم مشبکه گویند.
و به همین نحو وست-نیم مشبکه تعریف می شود.
مثال:
این نمودار هاسه، نمایش دهنده ی یک رسند-نیم مشبکه (و وست-نیم مشبکه) است. زیرا meet (و join) هر دو عضو موجود است و شرایط ذکر شده در بالا برقرار است:
به وضوح دو شرط اول برقرارند. شرط سوم را بررسی می کنیم:
a˄(b˄c) = a˄a = a
(a˄b)˄c = a˄c = a
پس دو طرف تساوی با هم برابرند. با بررسی شرط سوم
بر تک تک عناصر، نیم مشبکه بودن نمودار فوق، بدست می‌آید.
سوال: نشان دهید شکل زیر هیچ یک از انواع نیم مشبکه نیست.
نکته: با رابطه ی زیر می توان نشان داد دو تعریف فوق (تعریف ترتیبی و تعریف جبری) از نیم مشبکه با هم معادلند:
x ≤ y ↔ x˅y=y
x ≤ y ↔ x˄y=x
مرور بر مطالب قبل:
