گروه Group

گروه Group
ساختار جبری (+,G) را یک گروه گوییم هرگاه در شرایط زیر صدق کند:

سه شرط اول در پست های قبل توضیح داده شد. شرط چهارم یعنی هر عضو یک گروه دارای قرینه است.

به عبارتی می توان گفت هر تکوار که هر عضو آن دارای قرینه باشد یک گروه است.

مثال های فراوانی برای گروه ها وجود دارد که ان شاالله به مرور در همین پست قرار داده می شوند.
برای این منظور کافی است یک مجموعه با یک عمل را درنظر بگیریم و بررسی کنیم که آیا عمل تعریف شده روی این مجموعه در چهار شرط بالا صدق می کنند یا نه.

تذکر:عضو قرینه در یک گروه، لزوما با قرار دادن یک منفی پشت عنصر حاصل نمی شود. علامت منفی در اینجا صرفا برای درک بهتر عنصر قرینه است، می توان به جای این نماد از نماد دیگری برای نمایش عنصر قرینه استفاده کرد.

تکوار Monoid

تکوار Monoid

ساختار جبری (+,M) را یک تکوار یا مونوئید نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کنند:

شرط اول را بسته بودن مجموعه M، شرط دوم را شرکت پذیری عناصر M و شرط سوم را وجود عضو خنثی یا همانی در M می نامیم. 

یه عبارتی می توان گفت هر نیمگروه که عضو خنثی داشته باشد، یک تکوار (مونوئید) است.

نیمگروه Semigroup

نیمگروه Semigroup

ساختار جبری (+,S) را یک نیمگروه گوییم هرگاه در دو شرط زیر صدق کند:

شرط اول را بسته بودن مجموعه S و شرط دوم را شرکت پذیری عناصر S نسبت به عمل + می نامیم.

مثال: مجموعه اعداد طبیعی همراه با عمل جمع معمولی یک نیمگروه است.

تذکر: لزوما عمل مورد استفاده در نیمگروه جمع معمولی نیست و علامت + در اینجا فقط نمایانگر یک عمل دوتایی است.

رشته محاسبات نرم- ساختارهای جبری منطقی

تعریف رشته: محاسبات نرم مشخص کننده راه حل های نادقیق و تقریبی  برای حل مسائلی که از نظر محاسباتی حل آنها دشوار بوده و هیچ الگوریتم شناخته شده ای برای حل دقیق آنها در زمان چندجمله ای وجود ندارد. برخلاف شیوه‌های محاسباتی سخت که تمامی همّت و توان خود را به دقیق‌بودن، و در جهت مدل‌ نمودن کامل حقیقت معطوف می‌دارند، روش‌های نرم بر اساس تحمّل نادقیق‌نگری‌ها، حقایق جزیی و ناکامل، و فقدان اطمینان استوار گردیده‌اند. به زبان سادهٔ علمی، روش‌های سخت برآمده از طبیعت و نحوه رفتار ماشین است، در حالی که شیوه‌های نرم، به انسان و تدابیر اتخاذ شده از سوی ذهن او به منظور حل و فصل مسائل اختصاص پیدا می‌کند. دانشجویان این رشته با گذراندن 24 واحد آموزشی، 2واحد سمینار  و 6 واحد پایان‌نامه فارغ‌التحصیل خواهند شد.

هدف رشته: روش‌های محاسباتی متداول به اصلاح "سخت" تنها می‌توانند پدیده‌های نسبتاً ساده را به‌صورت دقیق مدل‌بندی و تجزیه و تحلیل کنند، ولی با روش‌های محاسبات به اصلاح "نرم" می‌توان پدیده‌های خیلی پیچیده در زیست‌شناسی، پزشکی، مهندسی، علوم‌انسانی، مدیریت و از این قبیل را نیز مطالعه و مدل‌بندی و تجزیه و تحلیل کرد.. تربیت متخصصان حرفه‌ای که تقریباً در هر وزارتخانه‌ا‌ی مشغول به‌کار شوند و روش‌هایی برای حل مسئله‌های آن‌ها ارائه نمایند.

منبع: سایت دانشکده علوم ریاضی دانشگاه شهید بهشتی

تقریبا چیزی که در این رشته در دانشگاه شهید بهشتی کار میشه، زیر مجموعه های مدل تئوری است.
رشته به شدت جذابیه برای عشق ریاضیایی که با منطق صفر و یک به بن بست رسیدن و دنبال یه منطق و جبر نزدیک تر به زندگی حقیقی انسانی هستن:)

مشبکه کراندار Bounded Lattice

مشبکه کراندار Bounded Lattice

ساختار جبریرا مشبکه ای کراندار گوییم هرگاهیک مشبکه باشد و عضوهای 0 و 1 در L در شرایط زیر صدق کنند:

                                             

                                             

0 را کران پایین و 1 را کران بالای L می نامیم.

مثال: مشبکه زیر، مشبکه ای کراندار است. کران پایین و بالای آن را مشخص کنید.

                                                

شانزدهمین کنفرانس سیستم های فازی ایران

دانشگاه آزاد واحد قزوین

17 الی 19 اسفندماه1395

تفکر فازی

علم همواره با یک اشتباه همراه بوده است، اشتباهی که همه دانشمندان نیز گویی مرتکب آن شده‌اند.

به طور مثال هر کس باید بتواند بگوید که علف سبز است و قرمز نیست. یا آنکه تعداد ستارگان زوج یا فرد است. هر کدام از این پدیده ها تنها یک پاسخ درست دارند صحیح یا غلط، حالت میانه ای وجود ندارد، اما این مثال ها که در آنها برای هر مسأله ای تنها یک جواب آری یا نه صادق است را نباید به همه چیز تعمیم داد.

اشتباه علم تعمیم این مسأله به تمام پدیده ها بوده است.

همان طور که ارسطو می گوید: «هر چیزی یا باید باشد یا نباشد، چه در حال حاضر و چه در آینده». به عبارتی زبان ریاضی علم، مرزهایی مصنوعی بین سیاه و سفید ایجاد می کند و سفید و سیاه هم‌زمان ممکن نیست.

هنوز در بسیاری از رشته ها، ما فرض را بر آن گذاشته‌ایم که جهانی از سیاه و سفید ها وجود دارند که تغییر نمی‌کنند. فازی بودن طیفی از خاکستری بین سیاه و سفید است. در واقع می‌توان گفت که هر چیزی به طور نسبی درست یا غلط است.

هرچند معمولا لغت «دقیق» در مقابل فازی به کار گرفته می شود، ولی منطق فازی را تعمیمی از منطق کلاسیک خواهیم یافت.

درستی یک گزاره فازی برحسب درجه است.

                               

مطالعه بیشتر: 1) تفکر فازی، بارت کاسکو، انتشارات دانشگاه خواجه نصیر الدین طوسی.

2) منطق فازی و کاربردهای آن، اسفندیار اسلامی، انتشارات دانشگاه شهید باهنر کرمان.

مشبکه Lattice

مشبکه Lattice

مجموعه ی مرتب جزئی L همراه با عمل دوتایی  ≥  را یک مشبکه (Lattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از L، بزرگترین کران پایین {x,y} و کوچکترین کران بالای {x,y} موجود باشد.

یعنی:

به عبارتی می‌توان گفت، L یک مشبکه است هرگاه یک رسند-نیم مشبکه و یک وست-نیم مشبکه باشد.

می توان مشبکه را به صورت جبری نیز تعریف کرد.

جبر (L; ∨,∧) را یک مشبکه نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند:

1)     خودتوانی:

جا به جایی:

شرکت پذیری:

1)     جذب:

مثال: مجموعه ی توانی همراه با عمل اشتراک و اجتماع یک مشبکه است.

زیرا به وضوح خواص خودتوانی، جا به جایی، شرکت پذیری و خاصیت جذب برای اجتماع و اشتراک مجموعه ها برقرار است.

برای درک بهتر، فرض کنیم مجموعه X برابر باشد با:

بنابراین:

نمودار هاسه این مشبکه به شکل زیر است:

نیم مشبکه Semilattice

 نیم مشبکه Semilattice

 مجموعه ی مرتب جزئی S همراه با عمل دوتایی ≥ را یک رسند-نیم مشبکه (meet-semilattice) گوییم هرگاه برای هر دو عضو x و y از S بزرگترین کران پایین (Greatest Lower Bound) {x,y} موجود باشد.

 بزرگترین کران پایین {x,y} را با inf{x,y} یا x˄y نمایش می دهیم.

 به همین ترتیب وست-نیم مشکبه را تعریف می کنیم.

 در وست-نیم مشبکه (join-semilattice)، به ازای هر دو عضو x و y از S، کوچکترین کران بالای (Least Upper Bound) {x,y} موجود است.

 کوچکترین کران بالای {x,y} را با sup{x,y} یا x˅y نمایش می دهیم.

 

 می توانیم تعریفی جبری از نیم مشبکه ارائه دهیم.

 برای این منظور مجموعه ی S را همراه با عمل دوتایی ˄ در نظر می گیریم به طوریکه  شرایط زیر برقرار باشد:

x˄x=x

x˄y=y˄x

x˄(y˄z)=(x˄y)˄z

 در این صورت S را رسند-نیم مشبکه گویند.

 و به همین نحو وست-نیم مشبکه تعریف می شود.

 مثال:

                                                       

 این نمودار هاسه، نمایش دهنده ی یک رسند-نیم مشبکه (و وست-نیم مشبکه) است. زیرا meet (و join) هر دو عضو موجود است و شرایط ذکر شده در بالا برقرار است:

 به وضوح دو شرط اول برقرارند. شرط سوم را بررسی می کنیم:

a˄(b˄c) = a˄a = a

(a˄b)˄c = a˄c = a

 پس دو طرف تساوی با هم برابرند. با بررسی شرط سوم بر تک تک عناصر، نیم مشبکه بودن نمودار فوق، بدست می‌آید.

 

سوال: نشان دهید شکل زیر هیچ یک از انواع نیم مشبکه نیست.

                                            

نکته: با رابطه ی زیر می توان نشان داد دو تعریف فوق (تعریف ترتیبی و تعریف جبری) از نیم مشبکه با هم معادلند:

x ≤ y ↔ x˅y=y

x ≤ y ↔ x˄y=x

 

مرور بر مطالب قبل:

                                                           

نمودار هاسه Hasse Diagram

 نمودار هاسه Hasse Diagram

 فرض کنید (A,≤) یک مجموعه ی مرتب جزئی باشد. نمودار هاسه این مجموعه به صورت زیر ساخته می‌شود:

1.      به ازای هر یک از اعضای A یک نقطه در صفحه در نظر می‌گیریم. اگر a و b دو عضو متمایز از A باشند که a≤b ارتفاع b بیشتر از a باشد.

2.      اگر a و b دو عضو متمایز باشند و a≤b آنگاه با یک منحنی صعودی نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b وصل می‌کنیم.

3.      تمام منحنی‌های رسم شده در گام 2 را برای خواص تعدی حذف می‌کنیم.

یعنی اگر a≤b نقطه نظیر a را به نقطه نظیر b با یک منحنی وصل می‌کنیم هرگاه عنصر c متمایز از a و b نداشته باشیم که a≤c≤b.

مثال: زوج های مرتب روی مجموعه اعداد طبیعی را با رابطه ی زیر در نظر بگیریم:

  (a,b) ≤ (c,d) if a ≤ c and b ≤d                                                                          

  نمودار هاسه به شکل زیر خواهد بود:

                                           

توجه1: برای رسم نمودار هاسه روش های متعددی وجود دارد، اما معمولا برای رسم ابتدا نقطه مینیمم (در صورت وجود) را قرار می دهند و باتوجه به رابطه ترتیب، نقاط و خطوط دیگر را اضافه می کنند. بنابراین نمودار هاسه هر مجموعه مرتب جزئی یکتا نیست.

توجه2: در نمودار هاسه دور و طوقه وجود ندارد. (با توجه به الگوریتم رسم واضح است.)